TEMA: LA CIRCUNFERENCIA
SUBTEMAS
1. La circunferencia como lugar geométrico.
2. Circunferencia con centro en el origen.
3. Circunferencia con centro fuera del origen.
4. Ecuación del general de la circunferencia.
5. Circunferencia que pasa por tres puntos.
En este presente tema se estudiara una de las curvas o figuras geométricas fundamentales, conocida por el hombre desde tiempos inmemoriales, con aplicaciones en muchísimos campos de la actividad humana, como son:
Arquitectura, Jardinería, Ingeniería, Danza, Pintura, Escultura, Diseño, Astronomía, Navegación, Cinemática, Sociología, Economía. etc.¿Cuál es, en el presente capítulo, la novedad en el estudio de esta curva? Sencillamente, que incorporarás en este nivel de conocimientos el punto de vista algebraico al geométrico y aprenderás, en consecuencia, a emplear diversas propiedades de esta curva valiéndote de ecuaciones.
¿Qué tanto sabes de lo que verás en este capítulo?
1.- El límite del área de caza de un gato salvaje está dado por la ecuación x2 + y2 – 12 – 64 = 0. Proporciona las coordenadas del punto desde el cual el felino recorrería igual distancia para atrapar cualquier presa que se halle en ese borde, así como dicha distancia (cada unidad equivale a 20 metros).
2.- En el diagrama se muestra una abeja melífera situada en el origen de un sistema de ejes coordenados, y la distancia máxima a la que se mueve durante la danza circular que ejecuta, en un sentido y en otro, para informar a sus compañeras sobre la ubicación de unas flores para obtener alimento.
a) Escribe una ecuación para describir el límite de la zona donde danza la abeja.
b) Otra abeja se desplaza al punto (3, 4). ¿Queda ésta sobre el límite, o afuera, o adentro de la zona que utiliza la otra?
Un jugador de béisbol avanza de la 1a a la 3a base, siguiendo la trayectoria circular indicada. Las bases distan, cada una, 30 metros de la siguiente.
3.- Contesta lo que se pide a continuación.
a) ¿Describe la ecuación x2 +y2 = 302, la trayectoria del corredor?
b) ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia por donde avanza el
jugador?
c) ¿Cuánto mide el radio de esta circunferencia?
d) ¿Cuál es su ecuación?
e) ¿Cuáles son las coordenadas de la 2a base?
f) ¿Quedaría ésta en la trayectoria descrita por la ecuación del inciso a)?
4.- Para el campo de béisbol, proporciona las ecuaciones de:
a) La línea que separa el infield del outfied.
b) La circunferencia que delimita el círculo del lanzador (supón su centro coincidente
con el del cuadrado).
Una circunferencia en una curva formada por puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.
El radio es un segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Una cuerda es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia; cuando la cuerda pasa por el centro de la circunferencia se denomina diámetro.
Una secante es una recta que corta a la circunferencia en dos de sus puntos.
Una tangente es una recta que toca a la circunferencia en un solo punto.
Los colibríes son las pájaros más pequeños de la naturaleza. Su peso oscila entre 2 a 20 g. y su tamaño entre 2.5 y 6 cm. de longitud. Su capacidad de suspensión y retroceso durante el vuelo es única entre los pájaros. Por lo regular los colibríes tienen en cada incubación dos crías y son extremadamente territorialistas. No obstantela enconada defensa del nido, existe una alta pérdida de huevos y crías debido a la depredación o accidentes, ya que la hembra abandona diariamente el nido por periodoslargos para conseguir alimento. Entre las aves pequeñas es de las más veloces: su velocidad promedio es de aproximadamente 60 km/h. Si observaras un colibrí que cada día se ausenta entre 15 y 20 minutos del nido, ¿Cuál es el área de la máxima región que sobrevuela en busca de alimento?
SOLUCIÓN
1.- a) ¿Cuál es el lugar geométrico descrito por la trayectoria de un avión que se mantiene sobrevolando la cuidad de Guadalajara a una distancia constante de 5 km. de la torre del aeropuerto, esperando instrucciones para su aterrizaje?
b) ¿Cuántos kilómetros recorre durante una vuelta de espera?
2.- Flores y colibríes. Supón, en el ejemplo 3, que el colibrí se detuvo a tomar alimento de las flores en varias ocasiones, sumando esta actividad en total cinco minutos, ¿Cuál sería el área máxima que podría sobrevolar el colibrí considerando el tiempo que ocupó para alimentarse?
3.-Dimensiones de la Tierra. La intersección de un plano y una esfera es una circunferencia.
Ésta es máxima cuando su diámetro coincide con el de la esfera.
a)¿ Cuál es el diámetro de la Tierra si el radio de la circunferencia máxima terrestre es de 6,378.5 km?
b)¿Cuánto mide la circunferencia ecuatorial?
4.- Recorrido escolar. Tu escuela se encuentra a 200 m de la estación de bomberos y a 700 m
de una nueva nevería. ¿qué tan próxima o qué tan alejada podría estar la nueva nevería de la
estación de bomberos?
5.- La ionosfera terrestre. La atmósfera terrestre está formada por cinco capas gaseosas,
siendo la más baja de ellas la troposfera, con una altura promedio de 12 km. Encima de ellas se extiende la estratosfera a 50 km sobfre nosotros, y la mesosfera hasta los 80 km. Arriba de esta capa se extiende hasta los 640 km la ionosfera y, más allá, la exosfera hasta 9, 400 km sobre el nivel del mar.
a)¿Cuántos km de espesor tiene la estratosfera?
b) En conjunto, ¿cuántos km de espesor de la atmósfera corresponden a la ionosfera y la exosfera?
CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN
A partir de este momento estudiaremos la circunferencia referida aun sistema de ejes coordenados. La condición geométrica que define a la circunferencia se traduce ahora en una ecuación.
Por definición sabemos que para cualquier punto P(x, y) sobre la circunferencia, su distancia al centro C(0, 0) es igual al radio r.
Así, cuando el centro de una circunferencia se halla en el origen, su ecuación adopta una forma muy sencilla:
pendiente 2
Escribir la ecuación de la circunferencia con centro en el origen, cuyo radio mide:
pendiente 3
Hallar el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2= 9. Obtener su gráfica.
Solución
ejemplo 2
La ecuación corresponde al modelo x2 + y2 = r2.
pendiente 1
Así la circunferencia x2 + y2= 9 tiene centro en C(0, 0) y radio r = √9=3.
ejemplo 3
a) Determinar si el punto P (3,- 1) pertenece a la circunferencia x2 + y2 = 4.
b) En caso negativo, ¿está el punto P en el interior de la circunferencia, o en su exterior?
Solución
pendiente 2
EJERCICIOS 4.2
En los ejercicios 1 a 5 escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el origen y radio indicado.
1. r= 1
2. r= 8
3. r= √2
4. r= 1/3
5. r= 13
En los ejercicios 6 a 10, obtén el centro y el radio de cada circunferencia.
6. x2 + y2 = 36
7. x2 + y2 = 16
8. x2 + y2 = 36
9. 32 + 3y2 = 12
10. 5x2 + 5x2 = 9
ejercicios 11 al 13. Determina, geométrica y analíticamente, si el punto proporcionado está sobre la circunferencia dada, o bien en su interior o en su exterior.
11. A(2,1) x2 + y2 = 16
12. B( -3, 1) x2 + y2 =10
13. C(-4, -5), x2 + y2 =25
CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN
La ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h, k), distinto del origen, se obtiene con un método muy simple:
Reemplazamos x y y por x -h y y – k en la ecuación básica de la circunferencia con centro en el origen.
pendiente 1
Así, una circunferencia con centro en (3, 1) y radio r = 4, tiene por ecuación:
pendiente 2
En general, la ecuación de una circunferencia con centro fuera del origen se obtiene con la fórmula:
Circunferencia con centro en (h, k):
(x –h)2 + (y – k)2 = r2
r= radio
ejemplo 1 obtención de la ecuación de una circunferencia
Una circunferencia tiene centro en C(-1,5) y radio r= 6. Obtener su ecuación y su gráfica.
solución
(x-h)2 + (y – k)2 = r2 Modelo de ecuación
(x – (-1))2 + (y -5)2 =62 Reemplazando -1 por h, 5 por k, 6 por r.
La ecuación buscada es (x + 1)2 + (y -5)2 = 36
ejemplo 2 obteniendo el centro y el radio
Determinar el centro y el radio de la circunferencia con ecuación.
a) (x - 4)2 + (y + 2)2 = 9
b) (x + 7)2 + y2 = 12
Solucion
a) La ecuación dada corresponde a una circunferencia con centro en C (4, - 2) y radio r = √9 = 3.
b) El centro se localiza en C( -7, 0) y el radio es r= √12.
ejemplo 3 Retorno y aterrizaje en un viaje espacial.
En su regreso a la Tierra, las naves espaciales tripuladas tienen un rango para la inclinación de su trayectoria respecto a nuestro planeta, de modo que, manteniéndose dentro de tales límites, garanticen su contacto con la superficie y no prosigan su viaje perdiéndose indefinidamente en el espacio sideral. Una de tales situaciones estuvo a punto de ocurrir durante el accidentado retorno de la nave Apolo 13, en abril de 1970. Las trayectorias que siguen las naves generalmente son curvas, Si al salir de la Luna, la trayectoria fuese recta:
a) ¿En qué punto de la superficie terrestre se ubicaría el límite para el contacto de la nave?
b) ¿Chocaría la nave con un satélite geoestacionario orbital ubicado en el punto S(5.5, 43)?
Solucion
En la figura, suponemos que todos los puntos están situados en el mismo plano del círculo ecuatorial terrestre
pendiente 1
a) El punto límite es el punto de contacto de la recta tangente que parte de la Luna y toca a la circunferencia terrestre. Observa que hay dos posibles rectas tangentes desde L: una por A y otra por B.
Por el Teorema de Pitágoras, el punto B está a 383.9470 mil km de la Luna. Cualquiera de los puntos que están a esta distancia de la Luna se halla en la circunferencia con centro en L(0,384) y radio r= 383.9470, es decir, en la circunferencia x2 + (y -383)2 = 383.94702. Los puntos A y B son las intersecciones de esta circunferencia con la circunferencia terrestre, que tiene centro en el origen y radio igual a 6.378 mil km, con ecuación x2 + y2 = 6.3782. Resolviendo simultáneamente ambas ecuaciones obtenemos A( -6.3771, 0.1050) y B(6.3771, 0.1059).
b) Si S(5.5,43) es un punto de la trayectoria de la nave, es inminente una colisión. Sin embargo, estas coordenadas no satisfacen la ecuación de la trayectoria de la nave:
y = -60.2191x + 384,
ordenada al origen igual a 384. No existe, por tanto, ningún riesgo de impacto entre la nave y el satélite. Calculando la distancia del punto S a dicha recta, se determina que la nave pasará a 0.1626 mil km del satélite, es decir, a 152.6 km de distancia.
ejercicos 4.3
En los ejercicios 1 a 4 escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia cuyos centros y radios se proporcionan.
1. C (5,2), r = 3
2. C (-1, 1), r =5
3. C (-3, -10), r =√8
4. C (0, -7), r = 1/3
5. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a circunferencias con centro en el origen, y cuáles a circunferencias con centro fuera de éste? Obtén el centro y el radio en cada caso.
a) (x + 3)2 + (y – 20)2 = 4
b) x2n+ y2 = 12
c) x2 + (y – 5)2 = 36
d) (x + 4)2 + y2 = 9
6. ¿Cuál de las circunferencias del ejercicio anterior tiene su centro sobre el eje x? ¿Cuál de ellas tiene su centro sobre el eje y? Enuncia y generaliza estas observaciones.
7. Escribe la ecuación de la recta tangente en A(1, 2), a la circunferencia con centro en C( -3, 7).
8. Viaje espacial. Una nave tripulada corrige una peligrosa trayectoria curva, descendiendo en línea recta para amarizar en el punto T(4.821,4.175) al sur del Océano Pacífico. Escribe la ecuación de la nueva trayectoria.
dibujo pendiente.
9. Diversión. En un parque de diversiones, uno de los juegos consiste de cabinas circulares que giran dentro de una gran rueda. Escribe la ecuación de la rueda mayor y de la cabina a la derecha en la figura.
dibujo pendiente
10. Frenado. La figura muestra tres discos de un mecanismo de detención de cada uno de los discos y halla sus puntos de contacto.
dibujo pendiente
ECUACION GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Desarrollando y simplificando la ecuación ordinaria de la circunferencia, e igualándola con cer, obtenemos la ecuación general de la circunferencia.
Así, la ecuación
(x – 4)2 + (y +1)2 = 9
se transforma, desarrollando cuadrados, en
x2 -8x + 16 + y2 + 2y + 1 = 9;
simplificando e igualando con cero, obtenemos
x2 + y2 -8x + 2y + 8 = 0
que es la ecuación general de la circunferencia.
Forma general de la ecuación de la circunferencia
x2 + y2 + Dx + Ey + F =0
Para identificar los elementos de una circunferencia, cuando su ecuación está escrita en la forma general, se para dicha ecuación a la forma ordinaria, mediante el procedimiento de completar y factorizar cuadrados en x y y.
La ecuación general de la circunferencia se denomina así en razón de que:
a) La ecuación de cualquier circunferencia puede escribirse de esta forma, y
b) Toda ecuación que tenga esta forma corresponde a una circunferencia.
ejemplo 1 obteniendo la ecuación general
Escribir la ecuación general de la circunferencia (x + 5)2 + (y – 3)2 = 25.
dibujo pendiente
Solucion
(x + 5)2 + (y – 3)2 = 25 Ecuación dada
x2 + 10x + 25 + y2 – 6y + 9 = 25 Desarrollando cuadrados
x2 + y2 + 10x – 6y +9 = 0 Simplificando e igualando con cero
ejemplo 2 Pasando la forma general a ordinaria
Halalr el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 – 6x + 10 y + 30 = 0
Solucion pendiente
La circunferencia tiene centro en C (3, - 5) y radio r= √4 = 2.
ejemplo 3 Fragmentos de una colisión de autos
Para ensayar nuevos dispositivos de seguridad, dos autos de prueba se acercan siguiendo las trayectorias descritas por las rectas 2x . 3y = 0 y x + y = 5. Se prevé que debido a la velocidad a que se aproximan, las partículas resultantes del impacto se desplazarán a 360 km/h del sitio del choque y alcanzarán su máximo alejamiento en línea recta después de ½ s.
a) ¿Cuál es el radio en el que se esparcen estas partículas?
b) ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que encierra la zona afectada por el impacto?
c) ¿Quedaría un equipo de filmación externa, situado en el punto A(3, - 50), dentro o fuera de la zona de influencia del impacto?
solución
a)El radio de dispersión es la distancia a la que vuelan las partículas durante ½ s, a una velocidad de 360 km/h.
pendiente
b)conocemos el radio de la circunferencia, r = 50. El punto donde ocurre el choque de los autos es su centro. Éste se halla en la intersección de las rectas 2x – 3y = 0 y x + y = 5, es decir, en el punto (3,2). La ecuación buscada es (x – 3)2 + (y -2)2 = 502, o bien, x2 + y2 – 6x -4y – 2487 =0.
c)La distancia del punto A al centro de la circunferencia es 52, mayor que el radio. Esto indica que el equipo de filmación está 2 m fuera de la región donde caerán los fragmentos.
ejercicio 4.4
En los ejercicios 1 a 4, escribe las ecuaciones generales de las circunferencias para las cuales las constantes de la ecuación general x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 tienen valores indicados.
1. D= -6, E= -2, F= 9
2. D=0 , E= -8, F= -33
3. D= 10, E= , F= 21
4. D= 0, E= 0, F= -9
En los ejercicios 5 a 7 escribe la ecuación general de la circunferencia.
5. (x – 2)2 + (y – 5)2 = 1
6. x2 + (y + 3)2 = 25
7. (x + 10)2 + y2= 64
Obtén, en los ejercicios 8 a 13, el centro y el radio de las circunferencias indicadas.
8. x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0
9. x2 + y2 – 8x –14y + 61 = 0
10. x2 + y2 – 12x –13 = 0
11. 3x2 +3y2 + 30x + 24y + 15 = 0
12. x2 + y2 + 10y = 0
13. x2 + y2 + 16x – 4y + 13 = 0
